二进制算法中的进位(CARRY)标志和溢出(OVERFLOW)标志
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原文来自 Ian! D. Allen - idallen@idallen.ca - www.idallen.com
在整数算术中，不要把“进位”标志和“溢出”标志混淆。每个标志都可以单独出现，也可以同时出现。CPU的ALU不关心或不知道你是在做有符号还是无符号的数学运算；ALU总是在做任何整数运算时适当地设置两个标志。ALU不知道有符号/无符号；ALU只是做二进制运算并适当地设置标志。你，作为程序员，必须知道在运算完成后检查哪个标志。
如果你的程序把一个字中的位当作无符号数，你必须注意看你的算术是否把进位标志置为1，表示结果是错误的。在做无符号数学运算时，你不关心溢出标志。（溢出标志只与有符号数有关，与无符号数无关。）
如果你的程序把一个字中的位当作二进制补码有符号值，你必须注意看你的算术是否把溢出标志置为1，表示结果是错误的。在做有符号的二进制补码数学运算时，你不关心进位标志。（进位标志只与无符号数有关，与有符号数无关。）
在无符号算术中，观察进位标志来检测错误。
在无符号算术中，溢出标志对你没有什么意义。
在有符号算术中，观察溢出标志来检测错误。
在有符号算术中，进位标志对你没有什么意义。
英语
不要把英语动词“to overflow” （溢出）和ALU中的“overflow flag” （溢出标志）混淆。动词“to overflow” （溢出）通常用来表示一些数学结果不适合可用的位数；它可以是整数运算、浮点运算或其他任何运算。 “Overflow flag” （溢出标志）是由ALU按照下面描述的方式特别设置的，并且它与通俗英语中的动词“to overflow” （溢出）不同。
在英语中，我们可能会说“二进制/整数运算溢出了结果可用的位数，导致进位标志被打开”。注意这种英语中动词“to overflow” （溢出）的用法不等同于说“溢出标志被打开”。一个数学结果可以溢出（动词）可用的位数而不打开ALU的“overflow” （溢出）标志。
进位标志
在二进制/整数运算中打开进位标志的规则有两条：
- 如果两个数字相加导致最高有效位（最左边）相加产生了进位，则设置进位标志。
1111 + 0001 = 0000 (进位标志被打开)
- 如果两个数字相减需要从最高有效位（最左边）借位，则也设置进位（借位）标志。
0000 - 0001 = 1111 (进位标志被打开)
否则，进位标志被清零。
- 0111 + 0001 = 1000 (进位标志被清零)
- 1000 - 0001 = 0111 (进位标志被清零)
在无符号算术中，观察进位标志来检测错误。
在有符号算术中，进位标志不会告诉您任何有趣的信息。
溢出标志
二进制/整数运算中，打开溢出标志的规则有两条：
- 如果两个没有符号位的数相加，得到一个有符号位的数，那么“溢出”标志就会打开。 0100 + 0100 = 1000 (溢出标志打开)
- 如果两个有符号位的数相加，得到一个没有符号位的数，那么“溢出”标志就会打开。 1000 + 1000 = 0000 (溢出标志打开)
其他情况下，溢出标志就会关闭。
- 0100 + 0001 = 0101 (溢出标志关闭)
- 0110 + 1001 = 1111 (溢出标志关闭)
- 1000 + 0001 = 1001 (溢出标志关闭)
- 1100 + 1100 = 1000 (溢出标志关闭)
注意，你只需要看三个数的符号位（最左边的）来判断溢出标志是打开还是关闭。
如果你是做二进制补码（有符号）运算，溢出标志打开意味着答案是错误的——你把两个正数相加得到了一个负数，或者你把两个负数相加得到了一个正数。
如果你是做无符号运算，溢出标志没有意义，应该被忽略。
二进制补码检测错误的规则是通过检查结果的符号来确定。一个负数和一个正数相加不可能是错的，因为它们的和在两个加数之间。由于两个加数都在允许的范围内，而它们的和在它们之间，所以它也必须在范围内。混合符号的加法永远不会打开溢出标志。
在有符号运算中，观察溢出标志来检测错误。
在无符号运算中，溢出标志对你没有什么意义。
ALU如何计算溢出标志
这部分内容是可选阅读的。
有几种自动检测二进制补码运算中的溢出错误的方法（对于那些不喜欢手动检查方法的人）。这里有两种：
计算溢出标志：方法一
只有当两个同号的数相加得到一个异号的数时，才会发生溢出。所以，要检测溢出我们不关心除了符号位以外的任何位。忽略其他位。
有两个操作数和一个结果，我们有三个符号位（每个是1或0）要考虑，所以我们有8种可能的三位组合。只有其中两种情况被认为是溢出。
下面只是两个加数和结果的符号位：
我们可以重复同样的表格来表示减法。注意，减去一个正数和加上一个负数是一样的，所以触发溢出标志的条件是：
一台计算机可能包含一个小的逻辑门阵列，当满足上述四种溢出条件中的任何一种时，将溢出标志设置为“1” 。
人类只需要记住，当做有符号运算时，两个同号的数相加必须得到同号的结果，否则就发生了溢出。
计算溢出标志：方法二
当两个二进制值相加时，考虑进入最左边一位（进入符号位）的二进制进位和从最左边一位（符号位）出去的二进制进位。（从最左边的[符号]位出去的进位成为ALU中的进位标志。）
在二进制补码中，溢出可能发生在不是从最左列进位，而是当有一个进入它而没有匹配的出去时。也就是说，当有一个进入符号位但没有从符号位出去时，就会发生溢出。
溢出标志是进入符号位（如果有）的进位与从符号位（如果有）出去的进位的异或。如果进入不等于出去，就会发生溢出。
例子（2位有符号二进制补码数字）：
- 进入是1
- 出去是1
- 1 XOR 1 = 没有溢出
- 进入是1
- 出去是0
- 1 XOR 0 = 溢出！
- 进入是0
- 出去是1
- 0 XOR 1 = 溢出！
- 进入是0
- 出去是0
- 0 XOR 0 = 没有溢出
注意，这种异或方法只适用于二进制进入符号位的进位。如果你使用十六进制数字、十进制数字或八进制数字，你也会有进位；但是，这种非二进制的进位不会影响符号位，你不能用这种非二进制的进位和出去的进位进行异或。
十六进制加法例子（显示异或对十六进制进位不起作用）：
由于A+A产生的十六进制进位为1，它不会影响符号位。如果你用二进制做运算，你会看到没有任何进入符号位的进位；但是，有从符号位出去的进位。因此，上面的例子会使溢出标志打开。（这个例子把两个负数相加得到了一个正数。）